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9.1 Integrating xn

积分 xn - 幂次加一，除以新幂次法则

一、积分的核心思想：微分的逆过程

积分是微分的逆运算。回顾微分：对 \( y = x^n \) 求导时，遵循"乘幂次，再减1次幂"（即 \( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)）；而积分作为逆操作，需"加1次幂，再除以新幂次"。

二、基本积分公式（Power Rule for Integration）

核心公式

若已知导数 \( \frac{dy}{dx} = x^n \)（或 \( f'(x) = x^n \)），且 \( n \neq -1 \)，则原函数为：

\( y = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c \)

其中 \( c \) 称为积分常数（Constant of Integration）。

原理：微分时"常数项会被消去"（例如 \( y = x^2 \)、\( y = x^2 + 5 \)、\( y = x^2 - 19 \) 的导数均为 \( \frac{dy}{dx} = 2x \)）。因此积分时，必须添加 \( c \) 表示"所有可能的常数项"。

三、含常数系数的积分（Integrating \( kx^n \)）

公式扩展

若导数为 \( \frac{dy}{dx} = kx^n \)（或 \( f'(x) = kx^n \)），其中 \( k \) 为常数且 \( n \neq -1 \)，则原函数为：

\( y = \frac{k}{n+1}x^{n+1} + c \)

要点：常数 \( k \) 直接"提取出来"，仅对 \( x^n \) 进行"加幂、除新幂"的操作；积分常数 \( c \) 无需与 \( k \) 相乘。

四、多项式的逐项积分（Integrating Polynomials Term by Term）

对多项式（多顶式的和/差）积分时，需逐项分别积分，再将结果相加/相减。

例题解析

例1：基本幂函数的积分

求满足下列条件的 \( y \)：

a. \( \frac{dy}{dx} = x^4 \)

b. \( \frac{dy}{dx} = x^{-5} \)（\( x \neq 0 \)）

解答

a. 对比公式 \( \frac{dy}{dx} = x^n \)，此处 \( n = 4 \)。

代入 \( y = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c \)：

\( y = \frac{1}{4+1}x^{4+1} + c = \frac{1}{5}x^5 + c \)

b. 对比公式 \( \frac{dy}{dx} = x^n \)，此处 \( n = -5 \)（满足 \( n \neq -1 \)）。

代入 \( n = -5 \)：

\( y = \frac{1}{-5+1}x^{-5+1} + c = \frac{1}{-4}x^{-4} + c = -\frac{1}{4}x^{-4} + c \)

例题2：含常数系数的积分

求满足下列条件的 \( f(x) \)：

a. \( f'(x) = 3x^{\frac{1}{2}} \)

b. \( f'(x) = 3 \)

解答

a. 对比公式 \( f'(x) = kx^n \)，此处 \( k = 3 \)，\( n = \frac{1}{2} \)。

新幂次 \( n+1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \)，代入 \( f(x) = \frac{k}{n+1}x^{n+1} + c \)：

\( f(x) = \frac{3}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} + c = 2x^{\frac{3}{2}} + c \)

b. 将 \( f'(x) = 3 \) 改写为 \( f'(x) = 3x^0 \)（因 \( x^0 = 1 \)），此时 \( k = 3 \)，\( n = 0 \)。

代入公式：

\( f(x) = \frac{3}{0+1}x^{0+1} + c = 3x + c \)

例题3：多项式的逐项积分

已知 \( \frac{dy}{dx} = 6x + 2x^{-3} - 3x^{\frac{1}{2}} \)，求 \( y \)。

对每一项分别积分，再合并结果：

  • 第一项 \( 6x \)：\( k = 6 \)，\( n = 1 \)，积分得 \( \frac{6}{1+1}x^{1+1} = 3x^2 \)；
  • 第二项 \( 2x^{-3} \)：\( k = 2 \)，\( n = -3 \)，积分得 \( \frac{2}{-3+1}x^{-3+1} = \frac{2}{-2}x^{-2} = -x^{-2} \)；
  • 第三项 \( -3x^{\frac{1}{2}} \)：\( k = -3 \)，\( n = \frac{1}{2} \)，新幂次 \( \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \)，积分得 \( \frac{-3}{\frac{3}{2}}x^{\frac{3}{2}} = -2x^{\frac{3}{2}} \)；

添加积分常数 \( c \)，最终：

\( y = 3x^2 - x^{-2} - 2x^{\frac{3}{2}} + c \)

课堂练习

练习题

  1. 求下列函数的积分（已知 \( \frac{dy}{dx} \)，求 \( y \)）：
    a. \( \frac{dy}{dx} = x^3 \)
    b. \( \frac{dy}{dx} = x^{-2} \)（\( x \neq 0 \)）
    c. \( \frac{dy}{dx} = 5x^4 \)
    d. \( \frac{dy}{dx} = 2\sqrt{x} \)（提示：\( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \))
  2. 已知 \( f'(x) = 4x - \frac{3}{x^3} \)（\( x \neq 0 \)），求 \( f(x) \)。
  3. 积分 \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 5x^{-4} - 2x^{\frac{1}{3}} \)，求 \( y \)。

练习答案（部分）

答案

1.

a. \( y = \frac{1}{4}x^4 + c \)

b. \( y = -\frac{1}{x} + c \)

c. \( y = x^5 + c \)

d. \( y = \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + c \)

2. 先将 \( \frac{3}{x^3} \) 改写为 \( 3x^{-3} \)，逐项积分：

\( 4x \) 积分得 \( 2x^2 \)；\( -3x^{-3} \) 积分得 \( \frac{-3}{-3+1}x^{-3+1} = \frac{3}{2}x^{-2} \)；

故 \( f(x) = 2x^2 + \frac{3}{2x^2} + c \)。

3. 逐项积分：

\( 3x^2 \) 积分得 \( x^3 \)；\( 5x^{-4} \) 积分得 \( \frac{5}{-4+1}x^{-4+1} = -\frac{5}{3}x^{-3} \)；\( -2x^{\frac{1}{3}} \) 积分得 \( \frac{-2}{\frac{1}{3}+1}x^{\frac{1}{3}+1} = -\frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}} \)；

故 \( y = x^3 - \frac{5}{3x^3} - \frac{3}{2}x^{\frac{4}{3}} + c \)。

总结

核心要点：积分 \( x^n \) 型函数的关键是"幂次加1，再除以新幂次"，需注意：

  • 积分常数 \( c \) 不可省略；
  • 多项式需逐项积分；
  • 系数 \( k \) 参与"除以新幂次"的运算，积分常数不与 \( k \) 相乘；
  • 限制条件 \( n \neq -1 \)（\( n = -1 \) 时积分规则不同，后续章节学习）。
学习价值

掌握积分 \( x^n \) 是微积分的基础，它为求解更复杂的函数积分提供了基本工具。通过练习可以培养代数运算能力和模式识别能力。